On dit qu'une fonction est bilinéaire si elle est linéaire à gauche et linéaire à droite
(Linéarité à droite, Linéarité à gauche)
Définition :
Une application \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) du produit cartésien \(E\times E\) à valeur dans \({\Bbb K}\) est dite forme bilinéaire si \(\sigma\) est une forme linéaire sur chaque variable
(Fonction de plusieurs variables, Forme linéaire)
Proposition :
On suppose que \(\operatorname{dim} E=n\) et on fixe une base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\)
\(\forall x,y\in E\), on a : $$\begin{align} x&=\sum^n_{i=1}x_ie_i\quad\text{ et }\quad y=\sum^n_{j=1}y_je_j\\ \sigma(x,y)&=\sum^n_{i=1}x_i\left(\sum^n_{j=1}a_{ij}y_j\right)\\ &={{x^TAy}}\end{align}$$ où \(A={{(a_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\} } }}\)
\(A\) est dite la matrice de \(\sigma\) dans les bases \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\), avec $${{a_{i,j} }}={{\sigma(e_i,e_j)}}$$
(Matrice transposée)
Proposition :
Soient \(\{e_i\}^n_{i=1},\{e_i'\}^n_{i=1}\) deux bases de \(E\) et \(C=(c_{ij})\) la matrice de changement de base $$e'_i={{\sum^n_{i=1}c_{ji}e_j}}$$
(Changement de base)
Formule de changement de base pour une forme bilinéaire :
Soient \(\{e_i\}^n_{i=1}\) et \(\{e_i^\prime\}^n_{i=1}\) deux bases $${{A^\prime=C^TAC}}\quad\text{ avec }\quad\begin{array}{l}A^\prime{{\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e^\prime_i\}^n_{i=0} }}\\ A{{\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e_i\}^n_{i=0} }}\\ C{{\text{ la matrice de passage de }\{e_i\}^n_{i=0}\text{ à }\{e_i^\prime\}^n_{i=0} }}\end{array}$$
(Matrice transposée)
Proposition :
Après changement de base dans la base \(\{e'_i\}^n_{i=1}\), \(\sigma\) a la forme : $$\sigma(x',y')={{x^T\underbrace{C^TAC}_By}}$$ avec \(B\) la matrice dans la base \(\{e'_i\}^n_{i=1}\)
(Matrice transposée, Forme bilinéaire - Bilinéarité (Matrice))
\(M\) est inversible si et seulement si $$MX=0\implies X=0$$
(Matrice inversible - Inversion de matrice)
Noyau - Espace nul (algèbre bilinéaire)
$${{\sigma(x,y)=x^TAy}}={{\langle x\mid Ay\rangle}}$$
(Produit scalaire)
- Produit scalaire \(\langle x\mid y\rangle=\sum^n_{i=1}x_iy_i\)
- Intégrale - Intégration du produit \(\sigma(f,g)=\int^1_0(fg)(t)\,dt\)
- Trace du produit \(\sigma(A,B)=\operatorname{trace}(AB)\)
- Déterminant
- \(\sigma(x,y)=f(x)g(y)\) où \(f\) et \(g\) sont des formes linéaires